Matematyk rozwiązał 152 letnią zagadkę szachową
Zagadka szachowa znana jako problem ośmiu hetmanów przez 152 lata pozostawała bez rozwiązania. Pierwszą osobą na świecie, która zdołała ją rozwikłać, jest matematyk z Uniwersytetu Harvarda.
Mówiąc w skrócie, szachy to gra strategiczna, w której dwaj gracze mają do dyspozycji zestaw szesnastu figur (8 pionów i 8 innych figur). Celem tej gry jest pokonanie przeciwnika poprzez szach mat — czyli stan gry, w którym król jest szachowany i nie ma możliwości legalnego ruchu, który mógłby go wydostać z szachu. Hetman, znany też jako dama, to najmocniejsza figura w grze, z możliwością poruszania się o dowolną ilość pól we wszystkich kierunkach. To są jednak podstawy — gdy zaczynamy analizować gry czy zagadki szachowe na większą skalę, szybko okazuje się, że szachy to gra o wyjątkowej złożoności.
Problem rozwiązany po 152 latach
Problem ośmiu hetmanów, będący jednocześnie zagadką szachową i matematyczną, powstał w 1848 roku dzięki szachistom Maksowi Bezzelowi i Franzowi Nauckowi. Wyzwanie polega na ustawieniu N dam na szachownicy o wymiarach N×N, tak aby żadne dwie figury nie groziły sobie wzdłuż tego samego wiersza, kolumny czy przekątnej. Następnym krokiem jest określenie liczby różnych możliwych rozmieszczeń. Od 1869 roku naukowcy usiłowali znaleźć rozwiązanie tego zagadnienia. To jednak udało się po raz pierwszy Michaelowi Simkinowi, matematykowi z Uniwersytetu Harvarda, który zdołał to zrobić bez pomocy komputerowej symulacji.
Wynik rośnie jak lawina
Tradycyjna szachownica ma wymiary 8×8 i dla takiego ustawienia jest 92 potencjalnych konfiguracji. W praktyce jednak, przyjmuje się, że istnieje tylko 12 podstawowych rozwiązań, a pozostałe to odwrócone warianty. Jeżeli jednak zastanowimy się nad liczbą rozwiązań dla szachownicy n x n z n hetmanami, problem staje się znacznie bardziej skomplikowany. Dlaczego? Większa liczba pól na szachownicy prowadzi do gwałtownego wzrostu liczby możliwych konfiguracji. Dodatkowym utrudnieniem jest brak konkretnej formuły, która mogłaby służyć jako punkt wyjścia do obliczeń. Jak więc zrozumieć te liczby? To pytanie dręczyło naukowców od lat.
Po raz kolejny wygrała matematyka
W lipcu 2021 roku, matematyk z Uniwersytetu Harvarda, podjął wyzwanie rozwiązania zagadki n hetmanów. Uczeni potwierdził, że rozwiązanie tego problemu wynosi (0.143n)n konfiguracji. W praktyce oznacza to, że musimy przemnożyć liczbę hetmanów przez 0,143, a następnie podnieść wynik do potęgi n. Jednym z wyzwań związanych z problemem n-hetmanów jest brak oczywistych metod jego uproszczenia. Nawet na stosunkowo małej szachownicy, liczba potencjalnych wariantów może być ogromna. Z kolei, im większa liczba hetmanów, tym liczba potencjalnych rozwiązań rośnie ekspotencjalnie. To właśnie czyniło tę szachową zagadkę tak trudną do rozwiązania. Na szczęście, Simkin opracował formułę, która pozwoliła mu dojść do prawidłowego rozstrzygnięcia.
W jaki sposób matematykowi udało się rozwiązać ten problem?
Michael Simkin, współpracując ze szwajcarskim matematykiem Zurem Lurią, spędził pięć lat, próbując rozwiązać ten złożony problem. Kluczową przeszkodą była brak symetrii na szachownicy, gdzie każde pole dostarcza hetmanowi różną liczbę możliwych ataków.
Podjęli oni jednak innowacyjne podejście do zagadki, koncentrując się na liczbie miejsc, które nie były atakowane po umieszczeniu kolejnych hetmanów na planszy. Zauważyli, że wraz ze wzrostem liczby hetmanów i pól szachownicy, figury zaczynają zajmować miejsca bardziej na obrzeżach planszy i poruszają się po przekątnej — na przykład od prawej do lewej krawędzi, z dala od potencjalnych ataków, co ogranicza ich zasięg.
Obserwując tę tendencję, Simkin zaczął stawiać hetmany na polach, gdzie ich zagęszczenie było największe i które były bardziej oddalone od środka szachownicy. Ta strategia pozwoliła mu na opracowanie formuły, która, choć jest tylko przybliżeniem, stanowi najdokładniejszy rezultat, jaki kiedykolwiek osiągnięto w tej dziedzinie.
Słowa Ksawerego Tartakowera, polsko-francuskiego arcymistrza szachowego, mówiące: „Zawsze istnieje właściwe posunięcie. Trzeba je tylko znaleźć.”, doskonale oddają dokonania Michaela Simkina w rozwiązaniu problemu n hetmanów.
Źródło: quantamagazine.org
